编者按：现代逻辑起源于19与20世纪之交人类对于数学基础问题的思考，然而此后数理逻辑却越来越陷入高度的技术化与专业化，并渐渐淡出公众、哲学家甚至其他领域数学家的视野。无论是数学基础问题还是一般的哲学问题都仍然呼唤着哲学与逻辑的再度携手。本期“周一谈治学”选编杨睿之老师《作为哲学的数理逻辑》（逻辑与形而上学教科书系列），重新梳理数理逻辑和哲学的关系，帮助大家快速准确地理解当代数理逻辑的主要工作，了解有关的哲学上的关切问题。

杨睿之：复旦大学哲学学院副教授。主要研究领域为数理逻辑、数学哲学。代表作有《作为哲学的数理逻辑》、“集合论多宇宙观述评”等。开设课程包括数理逻辑、集合论、递归论、证明论。

20世纪初分析哲学的诞生是哲学史上亘古未有的变革。仅仅一个世纪，分析哲学就几乎主导了主流学术界,并深刻地改变了哲学的面貌。甚至有学者认为，

分析哲学不仅仅是站在大陆哲学或欧洲哲学的对面,而是站在整个传统哲学或者说一切现成的学派哲学(established school philosophy)的对面(Glock,2008,p.99)。

的确，分析哲学肇始阶段的一些工作让人们看到了哲学的新的可能性。一批经典的论证在今天看来仍然是有效的。

数理逻辑起源于对数学基础严格性与可靠性的追求。这些追求不可避免地回溯至一些传统的哲学问题。例如，数学对象是否客观存在,数学命题是否有客观的涵义和真值。更一般地说就是，抽象实体的世界是否存在，语言是如何言说世界的，语言本身的结构与希望通过语言描绘的世界是如何关联的。

在对这些问题的探索中,弗雷格(Frege,Gottlob)、塔斯基(Tarski,Alfred)、Godel(Gödel,Kurt)等逻辑学家逐渐开发出一套诸如形式化语言、真定义、句法编码等强有力的工具。这些工具通过罗素(Russell,Bertrand)等人的工作被运用到对一般的哲学问题的处理。由此，分析哲学的变革才得以可能。甚至有学者认为，数理逻辑早期的工作，如(Frege,1884)本身就是分析哲学的一部分(Dummett,1996)。

一个世纪后的今天，分析哲学仍然占据着西方国家绝大多数的哲学学术岗位。然而，我们发现，在当代分析哲学的作品中已经很难再看到数理逻辑的身影了。相应地，数理逻辑自身逐渐形成了若干固定的问题域和独特的方法(集合论、递归论、模型论和证明论)，成长为一门从问题到方法相对自给自足的数学子学科。来自哲学问题的驱动不再显得必要，而基于哲学对数理逻辑工作意义的解读与批判甚至会让人觉得可笑或反感。

一个不难主张的判断是，当下的数理逻辑与分析哲学是隔离的。甚至有学者认为，这种隔离是不可逆的。冯·赖特(von Wright,Georg Henrik)在20世纪末展望新世纪可能的哲学潮流时说道:

“我想它们【哲学潮流】会明显地不同于这个世纪的样子，而逻辑将不是其中之一。”(von Wright,1993,p.24)

然而，这一既成事实及其未来趋势是理所当然的吗?

分析哲学固然取得了数据意义上的巨大成功，但今天的分析哲学对人类追求真理事业的贡献是否真的能如其肇始者所期望的那样，“针对特定的问题，取得确切的答案”(Russell,1946)？事实上，学术界已经开始对这场分析哲学运动的历史意义展开反思，褒贬不一(Reck,2013)(Preston,2007)，甚至分析哲学内部也弥漫着危机感。另一方面，数理逻辑虽然仍遵循着自身的动力稳步发展，但似乎已无法期望这门学科能重现其20世纪上半叶的荣耀，甚至其在整个数学世界中的地位也越来越边缘化。

针对分析哲学与数理逻辑面临的问题与境遇，一个显而易见却很少被认真对待的解决方案是：重启逻辑与哲学的对话与合作，看看经过数十年独立发展的两者能否给对方带来新的启发。笔者撰写本书（《作为哲学的数理逻辑/逻辑与形而上学教科书系列》，下同）的初衷也正在于此。

看到这里，读者可能会奇怪，这本书以“作为哲学的数理逻辑”为题，而谈论的明明只是数理逻辑与分析哲学。何不以“作为分析哲学的数理逻辑”为题？事实上，笔者认同马塔尔(Matar,Anat)在分析哲学:理性主义与浪漫主义(Matar,1998)一文中所界定的一种弱的分析哲学。按照这种界定，分析哲学正(应)是理性主义哲学传统在当代的自然呈现。

分析哲学家总是把理性主义的框架视为理所当然的：无论他们如何反对康德(Kant,Immanuel)或黑格尔(Hegel,Georg Wilhelm Friedrich)，布伦塔诺(Brentano,Franz)或穆勒(Mill,John Stuart)，他们始终是在纯粹理性主义者的战场上战斗。事实上，分析哲学总是被视为(至少被其从业者视为)对内心中理性主义框架的尽可能清晰的表达。(Matar,1998,p.17)

笔者也认同，相对于强调个体特殊性而排斥抽象和普遍性、强调不可言说性而诉诸艺术与文学、强调流变而拒绝追求“永恒的原则”的浪漫主义传统，哲学本身就应该是“理性主义者的专属领地”(Matar,1998,p.72)。因此，“作为哲学的数理逻辑”与“作为分析哲学的数理逻辑”抑或是“作为理性主义哲学的数理逻辑”在这种理解下并没有什么区别。

同时，笔者在本书中又表达了对当下实然的分析哲学研究的不满(见1.2节)，以及对应然的分析哲学的期许。本书试图将当代数理逻辑研究解读为那种应然的而非实然的分析哲学。为避免读者误以为笔者心目中应然的分析哲学就是当下普遍呈现的分析哲学研究，不如干脆将标题中的“分析哲学”改为涵义更加模糊的“哲学”，以使读者有恰当的预期，即书中所提到的“哲学”未必是常规或被普遍接受意义上的“哲学”，或许作者会表达或暗示他心中哲学应有的样态。

要重启数理逻辑与分析哲学的对话，需要有一批学者对当代数理逻辑和哲学研究有广泛且前沿的把握。我们知道，当代的学科细分与专门化使得跨界的通才越来越难以出现。一个按照中国学科目录仅仅被划分为二级学科的数理逻辑就涵盖了从集合论到构造主义(constructivism)数学等宽广的议题范围，多数优秀学者也只能在其中一两个领域取得领先的成果。即使如此，各种跨界研究，甚至很多横跨科学与人文的研究仍然层出不穷，甚至被频频叫好。一些科学工作者为了让自己的研究能争取到更多资源或社会关注，倾向于用一些人们喜闻乐见的语言来解释他们的工作。但是,这些解释往往并不严谨,有时甚至有意误导。

从事学术工作的人们常说，“跨界有风险”。这里的风险不仅仅涉及个人的学术声誉,更令人在意的是跨界对于求真事业本身的风险，即产生谬误的风险。跨界之所以容易产生谬误是因为其牵涉一个更一般的哲学论题，即翻译的不确定性(indeterminacy of translation)(参见Quine,1960,第二章)。

以在哲学界影响较大的哥德尔不完备性定理(Gödel's incompleteness theorems)为例，人们一般把它解读为“对于数学真不可能有一个完备且能行可判定的把握”，一些哲学工作者甚至认为“人工智能不可能实现”是哥德尔不完备性定理的推论。第一种解释是被多数逻辑学家、哲学家所认可的。但按照某种经济的哲学立场来说，所谓哥德尔不完备性定理不过是某个不强的数学公理系统(如RCA0)的定理，只是算术形式语言的一句句子或一串符号。将其解释为关于数学本质的判断需要预设一组哲学前提(并不定唯一)。例如，算术形式语言的符号/句子确实以某种方式对应某种算术对象/算术思想，而系统RCA0的定理对应的都是真算术思想或算术真，而算术真可以被合法地应用于其他领域，例如物理或数学基础本身。这些预设并不平凡，也确实受到过严肃的质疑。本书将涉及大量的数学定理及其解读,其中的不确定性或许更严重。

然而，跨界虽有风险，却是不得不为。人们在试图理解这个世界的过程中并没有太多选择方法和途径的自由。仅仅因为一种路径过于困难或风险高而避免通过它，就求真这个目的而言是不真诚的。当一系列基础问题显然召唤着数学与哲学的合作时，以风险为由拒绝这种合作无异于因为害怕而蒙住自己的眼睛。笔者并不打算在本书中就翻译的不确定性问题做更多探讨，只是力求在写作的过程中始终对这种风险保持警惕，尽量避免可识别的误解。笔者虽然对数理逻辑和很多哲学问题都有浓厚的兴趣，但才疏学浅，对任何一个领城的把握都并非完备也难以确保无错。因此，也希望读者在阅读和思考过程中以批判的态度看待书中的那些解读。

回到本书的写作目的。为了沟通当代哲学与数理逻辑，一条捷径是论证当前进行着的数理逻辑研究本身就仍然能被看作是一种哲学研究，并且这或许是一种更值得提倡的哲学研究方式。这正是本书的核心论点。笔者希望通过重新叙述数理逻辑的若干研究故事，向读者传递这样一个印象：嘿！这不就是哲学吗！