编者按：数理逻辑是当代哲学、数学、理论计算机科学的共同基础，其所研究的问题基础而深刻，有趣又富有挑战。数理逻辑为什么会成为一门跨学科修读课程？课程设置展现了哲学和数学怎样的关联性？它希望培养怎样的研究型人才？本期“周一谈治学”中，我们将以“哲学+数学”为视角，专访哲学学院“数理逻辑”授课教师杨睿之老师，从学科关联、课程设置、修读建议等方面，一同走进数理逻辑的“跨界”之路。

杨睿之：复旦大学哲学学院副教授。主要研究领域为数理逻辑、数学哲学。代表作有《作为哲学的数理逻辑》、“集合论多宇宙观述评”等。开设课程包括数理逻辑、集合论、递归论、证明论。

Q1、哲学与数学二者的研究密不可分,您认为这种关联体现在哪里？

有几个方面。首先这种关联体现在，对数学本身的思考自然而然会将我们引入到那些一般的哲学问题。比如研究“自然数”——自然数是什么呢？这就牵扯到哲学问题了。而且这与物理世界对象的本体论问题还不太一样，不太能用常识主义回避，它是真正的形而上学问题。还有认识论的问题——“我们何以认识自然数及其性质？”它和一般认识论的问题还不太一样，比如经验主义会说，我所有的认识都是基于我的感觉经验，但是数学（当然数学也会有经验主义）好像并不依赖于我们特定的经验。你可以想象不同的星球，甚至不同的宇宙，但是最终发展出来的数学可能是一样的。

其次，研究数学或者数学哲学，为一般的哲学问题提供了很好的范例。首先，数学比较纯粹，它似乎不怎么依赖感觉的杂多，所以可能更容易分析清楚，研究起来可能更容易一些。其次，数学的严格性始终令哲学家，或者说任何理智工作者着迷。因而包括莱布尼茨，康德等甚至都将数学作为哲学的范例。例如，康德把数学作为先天综合判断的范例。

最后是我个人的想法。某些观点认为哲学史是经验主义和理性主义之间的争论，在我看来，如果说上世纪初理性主义占主导地位的话，那么在我们这个时代经验主义就占绝对主导地位。我也认同另一种说法，作为哲学家就应该是某种程度的理性主义的捍卫者。所谓理性主义，在我看来是除了依赖感觉经验来得到知识的方式外，还有其它更确定的方式来认识这个世界。而在这个经验主义占主流的时代，可能数学是理性主义为自我辩护的最后的、最坚固的堡垒。对于经验主义来说，最难以自圆其说的是数学；而对于理性主义来说，数学则是一个比较好的案例，说明存在这样一些不依赖于经验，具有更强确定性的知识，而且人们是可以认识的。

在这些意义上，数学和哲学有相当密切的关系，数学哲学在哲学中当然也具有一定地位。

Q2、“数理逻辑”在何种意义上展现了数学和哲学的相关性？

数理逻辑，或者说现代逻辑，简单来说就是数学的逻辑，另外还可以理解为数学化了的逻辑。所谓数学逻辑，就是研究数学家所使用的逻辑；所谓数学化了的逻辑，就是用数学的方法、符号化的方法来研究逻辑。而数理逻辑，或现代逻辑的起源，其的初衷就是为了给数学建立一个基础。一般来说，我们认为现代逻辑起源于弗雷格的概念文字，而其最终目的就是为了给数学寻找根基，这本身是一个哲学问题，为了解决这个问题，发展出了数理逻辑这样一门学科。现在认为它是数学的一个分支，包括集合论、递归论、证明论、模型论这样具体的学科。

比如一般认为，集合论是当代数学最好的基础。所有的数学对象如自然数最后都会被定义成集合。有观点认为，这就将关于所有数学对象的形而上学问题归约为关于集合的形而上学问题。模型论在某种意义上研究的是理论和真的问题。递归论研究可计算性概念。它们都是源自于一些哲学的基本问题，为了刻画这些哲学概念，就发展出了一门门数理逻辑学科。而到今天，我们依旧需要面对这些问题——数学研究的是什么？数学基础是不是安全的？这些问题在这个时代并没有被彻底解决。数理逻辑则是今天能够有意义讨论这些问题的基础。

Q3、为什么我们今天鼓励跨学科修读“数理逻辑”？

数理逻辑为什么是一个跨学科的学程，与其自身学科性质有关。相对于我们现在的学科体系来说，数理逻辑是跨学科的。但它不同于一般的跨学科，我称之为“下交叉”。所谓的“上交叉”，往往是应用性的学科，如生物物理，它运用几门不同学科的理论和成果来研究一些现象；而数理逻辑，是一门“下交叉”的学科，它同时是哲学、数学和理论计算机科学的基础。比如我们知道，当代理论计算机科学出现的标志之一，就是图灵机，而图灵机的提出是为了解决所谓的希尔伯特可判定性问题。数理逻辑本身就是一个跨学科的方向，而且是自然而然形成的。

Q4、本次学程中，数学科学学院开设包括抽象代数、数学分析原理等，这几门课程的选择出于怎样的考量？

集合论和可计算性理论是当代数理逻辑的两个主要方向，这里不多赘述。我想同学们主要关心的还是数学分析原理和抽象代数。

数学分析是数学系的基础课程，研究的是实数，包括微积分、导数等都会在课程中体现。数学分析为什么可以作为基础？因为它提供了非常经典的数学训练，这种训练对于要掌握数学技巧、培养数学熟练度来说是非常必要的。对于数学系来说，包括如何写数学证明，怎么运用逻辑等训练都是在这门课程中体现的。比如定义极限和无穷小量。提到“无穷小量”，就必须说到为什么数学基础问题会成为一个“问题”？之前大家觉得数学是精确的、严格的，但牛顿、莱布尼茨发明微积分后，引入了无穷小量概念，并被广泛使用，但人们发现这个概念本身又没有一个界定，因而产生了严格化的需求。之后才有了弗雷格概念文字的出现。数学分析一开始就会用epsilon-delta语言介绍极限、无穷小等概念，如果学过数理逻辑就会知道这里面涉及到量词的迭代。

另外，学习数学分析会自然地从数论进入实数系，乃至走到数学哲学的问题。我们所熟悉的自然数结构是比较清晰的，所有自然数都是可以被定义的，自然数是可数的。但并不是每一个实数都可以被定义，或者说我们能定义的实数只是其中很少一部分。相对自然数而言，实数这个概念其实是很模糊的。学习集合论以后会知道，我们甚至可以在模型中添加具有某种性质的实数。实数涉及到更多数学哲学的本质问题，包括独立性命题（不是我们已有的数学公理系统能证明或证否的命题）等。

抽象代数也是很必要的。一开始我们遇到的都是固定的数系，如自然数、实数等。而抽象代数从这些具体的数系中抽象出各种代数结构，如各种群、环、域等。对代数结构的进一步抽象就成为了数理逻辑的一个方向——模型论。也就是因为这个原因，模型论用到的例子往往来自于代数，或者说模型论学家是另一个层面的代数学家。在这个意义上，抽象代数对于学好逻辑是非常必要的。

Q5、部分“文科”同学对“数理逻辑”的学习存在忧虑，您认为数理逻辑学程的学习是否需要一定“理科”基础？

首先，我们这门课是零预设的，也就是不需要前期课程的。我认为我们这门课的设计是面向全体零基础学生。对于逻辑来说，任何同学，只要愿意下功夫，就一定是可以学会的。从我个人角度来说，我觉得逻辑的那些规律是客观的，并且所有人的理解说到底是一样的。只要能想明白，答案是一样的。这和很多传统文科涉及到的感性、多样性不一样，逻辑对于所有人都是一样的。并且我认为，对逻辑的感觉是所有人都有的，因此不可能学不会，只有没用功。

Q6、对数理逻辑研究型人才的培养有怎样的要求和期待？

首先我们设计这个学生课程，实际上参考了一些国外大学招收PhD项目要求，即你需要修读的基本课程。当然这只是最低要求，当你真的要深入学习的时候，或者说想要做一些研究，是需要更多的东西的。为此，我们在此基础上设计了逻辑学暑期学校的学习。暑期学校往往会邀请国内国外在研究第一线的优秀学者来讲授相对前沿的内容。我们要求同学们在学程课程之外至少参与一次暑期班，借此接触前沿知识，有机会参与独立研究项目，真正涉猎前沿问题。如果在学程课程、暑期学校或研讨班表现优秀的话，我们会每年推荐一到两名同学参与新加坡国立大学举办的数理逻辑暑期班，会邀请最顶尖的集合论学家、递归论学家等授课两到三个星期，面向最前沿的问题，你不仅会接触到最优秀的老师，还会接触来自全球数理逻辑研究方面的优秀同学，与之学习、交流、合作。如果能通过这样一系列培养，我想我们可以真正培养出一些参与到数理逻辑问题中的研究型人才。

photo/暑期班课堂

特别鸣谢：段亚蓉（采访、摄影）、宋培敏（采访）、隋艺菲（采访）